中学数学教学中反例的作用

韦玉球¹ 任北上² 李智群³  

1. 广西外国语学院，广西南宁  530200  2. 广州大学华软软件学院 广东广州510990 ，3.北部湾大学 广西钦州535011

[摘 要]反例在中学数学教学中具有较大的作用，文章介绍了反例的重要性，以及在教学中构造反例的原则和方法。通过论述反例在教学中的作用，指出合理运用反例可加深学生对数学概念的理解，帮助学生发现问题，很好地培养和训练学生的思维能力等，并给出了运用反例的同时也需要注意的两个问题。

[关键词]思维能力；反例；应用

1.引言

在数学的发展史中，反例的应用占有及其重要的地位^[1]。新课标的改革也提出了在中学数学教学中应用反例教学的要求也越来越高。数学反例是指一个数学命题在满足已知条件情况下不成立的具体例子。在中学阶段，数学知识的应用是锻炼中学生抽象逻辑思维的关键，在现实的学习和实践中常常有这样一个经验:当对一个问题苦思冥想却难以解决时,可以从另一个方面切入,它往往是取得了成功的惊喜^[2]。数学学习过程是不断发现问题并且解决问题的过程，有时候学生解决数学问题时因考虑不周全而容易出错，可以通过构建适当的反例让学生对知识产生非常深刻的理解，而且依靠实证和反例能突出知识的真实性和严谨性。在数学系统研究中，常常会总结出一系列结论，当结论错误或者不成立时，巧用反例就可以被推翻^[3]。在这个阶段，学生的思维能力还处于逐步形成过程，思考问题还不够全面，学习思维不够活跃难免会出现错误的判断。反例在教学上的作用可以让学生发现错误并且及时纠正错误，达成积极探索真理、把握数学知识科学性的目标。基于新课改要求，重视反例教学，经过对反例在中学数学教学的作用的进行研究，推广反例在中学数学课堂上的广泛使用。

2 反例的概念及其教学功能

反例，简言之就是选择一个满足已知条件的例子来说明该命题的结论不成立^[4]。在中学阶段，反例通常用于判断命题的真假性，学生在数学问题解决中辨别真假数学命题时，短时间内无法根据原命题定义进行验证，可以通过应用反例来说明。

2.1深化概念教学的有效手段

数学概念在中学数学中属于核心内容。数学概念教学是一项艰巨的教学任务，这就要求教师在繁重的教学工作中能够灵活改变教学方式，采用不同的教学方法来引导学生学习，使学生能够在理解的基础上加强识记数学概念，通过不断的应用进一步加深对数学概念的理解并且能够用确切的、简洁的语言来叙述数学概念。数学概念具备一定的抽象性，只从字面上的含义和正面举例说明还不足以能够让学生正确地理解数学概念,还需要换不同教学方式或通过举出反例来加深学生对数学概念的理解并掌握。由于中学生目前的认知水平和思维能力还不能很明确地观察出概念的本质特征。所以在讲授数学概念时，教师要善于运用典型的反例指出学生在理解数学概念时常常会出现的易错点，促进学生深刻理解相关数学概念的本质特征。让学生动脑思考，从正、反两个方面比较和验证形成的数学概念，找出对数学概念理解不足的地方，强化对概念的深度理解。总而言之，反例在课堂上的合理应用有助于学生更加精确地理解和把握概念，掌握概念的实质^[5]5。

在函数概念学习过程中，教师在课堂上让学生验证两个相应集合间的关系是否构成函数，要善于引导学生应用反例进行验证，看学生是否能准确掌握函数概念。如果是函数则必须严格符合定义，若不构成函数关系，可引导学生举出反例来进行说明，如集合A中某元素在集合B中无相对应的项或者有多个元素与之对应，说明这两个集合不构成函数关系。经过举反例这个过程，学生就能够更好理解函数的概念。

2.2 反例是鉴别假命题的常用工具

在数学命题的教学中，教会学生掌握正确判断命题真假的方法很重要。数学命题一般由两个部分构成：条件和结论。换句话说，如果满足命题中对应的条件，就会得到某些相应结论。在中学阶段，学生的思维能力还不够完善，在分析命题时往往会忽略句子中某个关键词的适用范围，只是单单记住结论，这不利于学生鉴别命题的真与假。教师在教学过程中，善于引导学生借助反例这个正确判断命题真与假的有效工具。

在教学过程中，让学生判断命题“两个连续函数之积是连续函数，那么它的逆命题也一定成立”是真命题还是假命题。遇到这样一个命题学生很难从正面判断它的真假性，这时就可以通过举反例来说明。例如：

  ，  

易证明,在区间内处处不连续，这就说明了两个连续函数之积是连续函数的逆命题一定成立是假命题。这样一个反例教学过程就可以准确判断该命题是假命题，所以在数学课堂中引入反例教学，能提高学生辨析命题真假性的能力^[6]，还能增强学生解题思路的灵活性和判断命题真假的准确性。

2.3 反例是纠正错误的有效方法

学生在中学学习数学过程中，难以避免因为对知识理解程度不够而产生错误的解题思路，因此，在数学学习中不可缺少纠错这一重要环节，对于错误知识的纠正有多种不同的形式^[7]2。教师作为学生学习的引导者，在引导学生纠正对数学知识错误的理解时，巧妙地使用反例可有效地帮助学生更好理解知识和掌握知识，学会换位思考，这是一个借助反例很有意义的教学过程。比如学生在使用均值不等式求最小值时，往往会忽略某个重要条件而导致学生解题时出现错误，在教学中利用反例可以让学生更加简单明了发现错误。如已知的最小值，学生会出现这样错误的解法：，所以的最小值是，很明显学生在解题过程中忽略了等号成立的条件，若，求不出的值。在数学教学中教师可以举出一个反例，找出一个比还小的值，引导学生发现错误。当时，，当且仅当，即时等号成立，从而得出正确的答案。即当时，的最小值是。所以借助反例可以很好地让学生有效发现错误并及时改正。学生不用苦思冥想，一个简单的反例能够帮助学生及时纠正错误。如此一来，学生体会到应用反例来解决问题的优越感，不断发现反例的魅力，重视反例的作用。

3 在中学数学教学中反例的构造原则和构造方法

3.1 构造原则

构建一个反例就是给出一个具体例子，这个例子可以说明命题不成立。在中学数学教学中构造反例应当遵循两个基本原则：（1）构造的例子必须符合命题的条件；（2）结论与命题结论相反，即否定性原则。此外，构建的反例可以是简单和直接的，能够准确解释问题，避免复杂性，或解释问题不明确^[8]。

3.2 构造方法

3.2.1 特例构造法

特殊和一般属于一种对偶关系，它们彼此相对却又相互依存。可以利用两者之间的相关度构造反例，用特殊的例子或者证明来否定一般结论，这种方式叫做反例的特例构造法^[9]，在反例的构造中持有很重的比例。

例1无理数的无理数次幂还是无理数，这个命题是否成立？

分析：初看这个问题，很多学生无从下手，通过构造特例可以判断该命题是否成立。

解：已知为无理数，构造任意数，若不是无理数，则证明该命题不成立，若为无理数，则不是无理数，则命题不成立。由此可见，无论是否为无理数，命题都不成立。

3.2.2 性质构造法

性质构造就是根据反例本身性质特征，按一定的数学知识技能进行反例构造。

例2．判断周期函数是否一定有最小正周期。

学生从正面理解有一定的困难，此时教师可以引导学生构造反例。

如判断是否存在最小正周期？

设为任意有理数，当为有理数时，也为有理数，为无理数时，也为无理数。则有

即：，则以任意有理数为周期，但有理数中不存在最小正有理数，所以最小正周期不存在^[5]31。

3.2.3 直观构造法

直观构造法也可看作是形象构造法，主要针对的是几何方面的数学问题或数形结合问题，它是在联系问题的几何图形基础上，结合图形的特征构造的反例^[10]。

4 反例在中学数学教学中的作用

4.1可以加深学生对数学概念的理解

数学概念是数学最基本的知识，只有掌握好数学概念，才能在后续数学学习路上走得更加顺畅。概念本身具备着高度的科学性、严谨性和抽象性，在教学过程中教师要让学生明白数学概念是如何形成的，将数学概念的形成过程放在首位^[11]，引导学生从不同角度用不同的方法来辨析数学概念，适当发挥反例的作用，帮助学生从不同方位巩固相关数学概念，从而深化对数学概念的理解。

函数单调性的概念属于抽象性数学概念，如果教师在授课过程中只是按照教材内容单纯向学生灌输函数单调性的概念，却不注重概念的形成过程，学生就无法理解这样形式化的概念是如何形成的。学生最终将无法做到真正理解函数单调性的概念，在解题中容易就会出现混乱，也会对今后的函数学习中产生影响。必要时，教师可以通过具体的反例来帮助学生加深对函数单调性概念的理解。在正、反例对比中明确函数单调性概念的本质特征。

例3．函数在区间内有定义，若该函数在区间上单调递减，在上也同样单调递减，判断函数在定义域上是否为单调减函数？

学生在分析过程中会认为，既然函数分别在区间和上都是单调递减，那么函数在定义域上一定是单调减函数。然而学生这样理解是有错误的，说明学生还能够准确掌握函数单调性的概念。此时，教师可以

通过举反例来帮助学生加深对函数单调性概念的理解。如，很显然该函数在区间上单调减，在上也单调递减，但是在其定义域中不具

备单调性，可取显然但，这就很明显不符合减函数的定义。通过这一反例教学，学生能够深化对概念的正确理解，重新掌握函数单调性的概念。

4.2 有利于学生纠错

学生的认知结构是在不断学习过程中逐步完善的，以学生现有的知识结构，在解决数学问题的时候一般会产生各种各样的错误，学生常常集中注意力于正确的解题方法而忽略如何找出错误^[12]。教师可以试着运用反例来引导学生进行不断思考，这一过程会在帮助学生纠正错误解题方法上有意想不到的收获。当学生在解题过程中出现错误，自己却很难发现时，可以通过举反例来进行纠错。反例对于学生纠错具有最突出和最基本的作用，是学生纠正错误的有力工具。教师在授课时可以根据学生学习过程中出现同样性质的错误类型举出反例。例如：设方程的两个实数根分别为和，求的取值范围。学过韦达定理，学生会得到这样的一个解题过程：    。按照学生的惯性思维，得出一个看似很合理的具体解题过程，学生很难从正面发现该解题过程存在的错误。这时候可以应用反例帮助学生纠正错误，当，解出,若，代入中得到,算出，，则方程没有实数根，说明学生得出是错误的，学生没有考虑方程有实数根。正确的解题过程还需要再加上

一个条件即，解出，即，最终得到，在这个反例教学中，学生能够及时纠正错误，也提高了学生的解题能力。

5在中学数学教学中使用反例应注意的问题

5.1注意使用反例的时机

在数学教学过程中合理使用反例教学的一个前提是学生对所学的知识有一定的理解和掌握程度，在学生能够灵活掌握正例的基础上，才能正确地展示反例。才能更好地开展教学活动。教师在教学过程中使用反例把握好时机，能够有针对性地帮助学生解决数学问题，注意引入反例的合理性，使其用在关键之处^[14]。

首先，学生学习比较难掌握的数学概念时，常常会因为概念太抽象而辨析不清造成在解题时容易出现错误，此时教师在教学活动中巧妙使用反例可以使概念特征简单化，更能让学生容易理解。因而在恰当的时机使用反例可以让学生减少出错的概率，提升学生解题的能力，从而提高学生的学习效率。

其次，学生在思考数学问题时，常常认为自己的解题思路是非常正确的，苦思冥想也难以发现其中错误。此时，教师就应该抓住教育时机，引导学生用一个简单的反例来发现错误。如在学习因式分解后，学生知道,那么学生可能就会理所当然认为也是正确的，这时候可以应用简单的反例来进行解释说明，当时，显然。恰当的引入反例进行教学能让学生及时发现错误，从而对所学的数学知识更加印象深刻。

5.2 注意使用反例的程度

使用反例教学不是盲目追求反例能快速解决数学问题，而是在施教过程中可以选择简单的反例来加深学生对知识的理解。学生的思维方式存在差异性，对知识的接受能力不同，教师在教学中强调反例，可能会给学生带来心理压力。而且教师在教学过程中，总是强调使用反例，学生会产生知识错乱，遇到实际问题时不知道是该采用什么方法来解决问题比较好。如果学生无法构造反例时，就会片面觉得自己得出结论都是错的，也会让学生觉得构造反例是一个困难又复杂的过程，从而不愿意将反例应用到解决问题中。所以掌握好使用反例的程度，才会取得理想的效果。

结束语

在新课标的背景下反例的重要性更加突出，在数学教学课堂中合理的反例应用是帮助学生解决数学难题强有力的工具。目前，中学数学教师在数学课堂上使用反例教学频率不高，使用反例的作用来组织教学的意识程度并不强。教师不常利用反例开展教学是因为教师对反例的作用理解不到位以及学生构建反例有一定的困难，有时候反例的使用会使学生更难以理解相关的数学知识。教师在使用反例时必须考虑学生已有的知识水平程度和数学思维建构体系，才能很好地运用反例。建议教师在教学过程中结合实际设计多种多样的反例融入课堂教学活动，这样不仅能在教学活动中提升教学效果和教学水平，还能培养学生使用反例的意识以及数学理解能力。

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Application of Counterexample in Middle School Mathematics Teaching

WEI Yu-qiu  REN Bei-shang  LI Zhi-qun

Abstract: Counterexamples play a greater role in middle school mathematics teaching. The article introduces the importance of counterexamples and the principles and methods of constructing counterexamples in teaching. By discussing the role of counterexamples in teaching, it is pointed out that the rational use of counterexamples can deepen students' understanding of mathematical concepts and principles, help students discover problems, cultivate and train students' thinking ability well, and give examples of counterexamples two issues to be aware of.

Key words：Thinking ability; Counterexamples; application  

基金项目：2018年广西高等教育本科教改项目（2018JGB372）, 2018年度广州华软软件学院科学研究、教育教学研究项目（KY201805）；2019年广州大学华软软件学院 “质量工程”建设项目（SPGKK201901）

作者简介：韦玉球（1981-），女，广西都安，研究生学历，副教授，研究方向：数学教育及课堂有效教学。通讯作者：李智群