支架式教学在对数函数解题教学中的应用研究

楚伶  

(湖南科技大学   数学与计算科学学院   湖南  湘潭  411201）

摘要:新课标对高中数学教学提出了新要求，传统解题教学模式已难以适应教学现状。本文将以对数函数的解题教学为例，进行建构主义学习理论下支架式教学模式在解题教学中的应用研究，教学实施中应关注学生的学习心向、利用“最近发展区”的动态性搭建支架。

关键词:支架式教学;对数函数;解题教学；最近发展区

中图分类号：G642.0   文献标志码：A   

   作者简介：楚伶，1996年2月，女，湖南省益阳市，硕士，湖南科技大学，研究方向：学科教学（数学）

基金项目：2020年湖南省普通高等学校教学改革研究项目，发布单位：湖南省教育厅，立项编号：HNJG-2020-0492，项目名称：基于“两性一度”的《数学分析》课程教学新模式探究

 

引言

对数函数作为五大基本初等函数之一，倍受高考出题老师的青睐。对数函数与其奇偶性、单调性，最大（小）值等综合考察的题型众多，学生往往被此类题目的表象所击倒，采取避而远之的态度。受传统解题教学模式的影响，教师侧重将解题过程呈现给学生，没有形成基于学生已有知识与生活经验逐步搭建解题框架的意识。对于解题方法的由来学生却无从得知，只能靠单纯的模仿与被动接受式学习，因此学生充当了“知识的容器”，难以达到知识上的融会贯通。学生的好奇心与求知欲得不到激发，反而会持有畏惧心理。《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：高中数学教学以发展学生数学核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。^[1]支架式教学模式符合课程标准提出的要求，将复杂的对数函数综合题进行了逐步分解，提高了学生在解题过程中的学习自主性。这使学生能逐渐看透综合题中“题中之题”的本质，进一步通过学生的独立探索来达到知识建构的目的。在这之前已有很多学者进行过支架式教学的研究。章建跃在《建构主义及其对数学教育的启示》中强调打好数学基础的重要性，关注数学本身的特点，给学生适度的指导。^[2]王培在《支架式教学在函数教学中的研究》提出了分散难点、分散过程、系统整合等观点。^[3]这些支架式教学的观点虽然对数学教育和教学研究有所启示，但较少涉及高中解题教学，也很少提出相应的落实策略。因此，本文将以对数函数的解题教学为例进行支架式教学在解题教学中的应用研究，通过关注学生的学习心向、利用“最近发展区”的动态性搭建支架来实施教学。

一、 支架式教学的理论基础

支架式教学模式来源于维果斯基的“最近发展区”理论及“辅助学习”（assisted learning)思想。^[4] 基于问题情境，激发学习者的好奇心与求知欲，使学生处于不平衡的认知状态，逐步探索与选择脚手架的搭建过程，经历同化、顺应阶段以达到更高层次的平衡。将“最近发展区”变为“现实发展区”，教师逐步拆除脚手架，将学习任务逐渐转移给学生。学生将意识到学习的主体地位，从而掌握在解题教学过程中的学习自主权，基于学生已有认知基础，通过对知识的处理与转换，在头脑中形成一套属于自己的解题方法体系，以达到知识意义建构的目的。具体有以下三个方面的理论基础：

1.建构主义理论

    建构主义学习理论是利用学生的自身知识与生活经验进行意义建构。支架式教学是基于建构主义理论下的一种教学模式，在一定的学习环境与同伴互助的条件下，为学习者进行意义建构逐步搭建框架，将学习任务与难度逐层分解，以达到学习者自我建构的目的。自我建构、社会互动与情境性是建构主义理论下学习的几个主要特征，能帮助学生在探索的过程中发现解决问题的途径。

2.认知发展理论 

皮亚杰的认知发展理论是指对新知识的认识是通过同化、顺应，由不平衡到平衡循环往复的过程。具体来说，学生在刚接触新知识后，会与头脑中与已有的认知结构产生自我冲突，通过同化、顺应的过程将新知识理解吸收并融入到已有认知结构中，达到新的平衡，学习就是在此流程下的一个循环往复，自我认知不断完善的过程。

3.最近发展区

维果斯基提出的最近发展区指的是第一发展水平与第二发展水平之间的距离。第一发展水平是学生通过自主学习能独立达到的水平，第二发展水平是学生无法独立完成，需要通过他人辅助，在与他人合作的过程中能达到的水平。支架式教学模式在第一发展水平向第二发展水平过渡的过程中，基于学生已有认知基础，适度搭建支架。在尊重学生主体地位，注重启发引导的教学理念下，搭建辅助支架，帮助学生达到更高层次的发展水平。

二、支架式教学在对数函数解题教学的应用探索

对数函数的综合题通常是将单调性、奇偶性、最大（小）值等综合考察，对单一的性质在日常教学过程中，学生能很好地掌握，但综合考察时却成了一大难题。究其缘由，在于学生没有形成属于自己的解题框架，未深入分析解题方法的原理，对平时解题过程中常见的小结论，缺乏留心观察的习惯，仅是死记硬背，没有尝试亲手证明，彻底理解。解题教学中支架式教学模式的应用，能通过逐步搭建“脚手架”帮学生将复杂的对数函数综合题进行分解，学生通过一系列的辅助问题、等价问题等，看透“题中之题”的本质，使综合难题得到分解，并建构自己的解题方法体系。为此，本文将选取一个具有典型性的对数函数综合题来探索分析支架式教学在解题教学中的应用。

例题如下：

已知不恒为零的函数是偶函数

（1）求的值

（2）求不等式的解集

2.1问题（1）的支架式教学分析

 

图1  问题（1）的支架模型

2.1.1判断题目类型，探索解题思路

师：请大家观察题目的类型是什么？

生：对数函数中已知奇偶性求参数的问题。

【评析】教师通过问题情境，搭建支架将学生引入独立探索的阶段。此过程基于学生不同的认知基础，有不同的方法选择，教师应密切跟踪观察，并逐步搭建“脚手架”。有同学会马上想到填空选择题中常用的已知奇偶性求参数的三步法。

生：第一步，看定义域。要满足且这两个条件。但含无法判断。

师：可跳过定义域，记得最后回来检验。

生：第二步，代特殊值。比如取，没找到思路。

师：取值前也要先考虑取的值是否在定义域中。想想特殊值法是基于什么推导出来的？

生：从定义入手推导的。

师：请同学们尝试从定义出发求参数，小组间互相讲解解题过程。

生：通过移项、提取公因式、同底对数相加法则得。

【评析】在探究方法的过程中，教师没有直接将定义法呈现给学生，而是当学生常用的特值法失效时，通过搭建支架让学生理解特殊值法的根源是定义法。尝试从定义法出发独立探索，打破学生特殊值法的固化思维模式。在学生独立探索的过程中提供适当的思想指导，从一个问题过渡到与它等价的另一个问题，就叫做双侧变形。^[5]如：题目中将复杂式子等价转化为恒成立问题。这种思想有助于将陌生的复杂问题转化为熟悉的简单问题，使学生在熟悉的情境下进行求解。支架搭建的过程中设置了小组内部互相讲解、讨论的环节，通过协作学习使学生之间形成“学习共同体”，创造了良好的学习环境，有利于学生对知识全面丰富地理解。

 

2.1.2 严谨分类讨论，巧解恒成立题

生：当时，等式成立；当时，，此时需要对数函数的真数为1，拆分计算。

师：不急着拆分，先观察你发现了什么？

生：可用平方差公式化简。

【评析】对于此类恒成立问题，教师巧妙地搭建支架，帮助学生完成意义的建构，自己探索出恒成立问题分类讨论的依据，再选择方法。在严谨分类讨论的过程中，养成不重不漏、独立探索的好习惯。在搭建脚手架的过程中，遵循“最近发展区”的规律，从已有知识经验出发，这些原有知识结构和信念对他们建构新知识有特别重要的作用，新知识经验正式在旧知识经验基础上生长出来的。^[4]在化简的过程中，平方差公式的使用，同底数对数加法的运算等都是新知识的生长点，能帮助学生在理解的基础上自行建构解题框架。

2.1.3 细致分析结果，培养检验意识

师：同学们还少了很重要的一步。

生：检验。第一，检验真数是否大于零；第二，是否保证定义域关于原点对称；第三，不恒为零的条件是否满足。

【评析】在解题教学过程中，对于求得的最终结果，要进行细致地分析，培养检验意识。教师为学生搭建支架，放手让学生独立探索需要检验的部分，这是对已有知识经验的回顾，也是学生对认知体系的自我完善与反思，使学生在反思中得到成长。

2.2问题（2）支架式教学分析

图2 问题（2）的支架模型

2.2.1活用题中之题，简化解题难度

生：将的值代入第二问可得到结果。但过程太复杂了。

师：停下来观察下，是否有点熟悉?

生：，它有两点重要的性质，没背清楚。

师：这些常见的具有特殊性质的函数不是要你们死记硬背，而是要通过亲手证明来彻底理解。可用来表示这个函数，从单调性和奇偶性出发，自己尝试动手证明它的性质。

生：先研究单调性还是奇偶性呢？

师：可以尝试两种不同的先后顺序来研究，再比较方法的优劣。

生：先试试奇偶性，定义域关于原点对称。再看的关系，假设为奇函数，则需要。

师：别忘了第一问讲到过复杂式子的等价变换。

生： ，则为奇函数。只需判断单侧的单调性，再由对称性判断即可。

【评析】教师让学生自己尝试探索不同类型的解题方式，并逐步搭建辅助的支架。引导学生找到隐含在题目中“题中之题”的本质，即本题中出现的常用函数。对其两点特殊的性质教师不倡导传统记忆的方式，而是给时间让学生自己亲历证明过程，获得学习成就感，达到知识的自我建构。帮助学生更透彻地理解，并纳入已有认知体系当中。通过对性质的发现，使学生探索出新的解题思路，简化解题难度。

2.2.2结合图像性质，理解题目本质

师：通过证明的特殊性质，你认为研究函数的重要思想是什么？

生：数形结合。题目已知是偶函数，那就只要研究单调性了。

师：分析单调性的最终目的是为了什么？

生：对函数值进行大小比较。

【评析】对于函数的研究是基于对其图像和性质两方面展开讨论的，在解题教学过程中，教师应搭建支架，引导学生从这两方面进行思考。拓展学生的思维体系，认清问题本质，理解解题方法的由来，有针对性地进行解题教学。解题过程中教师设置的引导性问题。比如：研究函数的重要思想是什么？分析单调性的目的什么？能逐步帮助学生对函数的图像与性质进行独立探索与思考。

2.2.3瞄准目标导向，寻找缺失条件

师：请自己动手找到缺失的条件。

生：偶函数只需分析单侧的单调性再对称即可。为增函数，为增函数，则为增函数。

师：注意符号。

生：两恒为正的增函数相乘才为增函数。因此在上为增函数，上为减函数。

师：第一个条件找到了，下面尝试构造比较函数值大小的形式。

生：先把函数前系数化为1，如何比较？

师：与的表达式结合观察，能否代入合适的值？

生：右边就是代入后的结果，结合函数图像来比较得到。

【评析】教师引导学生搭建解题框架后，让学生从最终目标出发，反向寻找达到最终目标所缺失的条件，并设法寻找。这是学生在选择方法后，自主探索的过程，教师需要观察学生探索时的表现并及时记录，为进一步搭建支架做准备。用问题来激发学生的思维，激发学生潜在的好奇心与求知欲。

三、支架式教学的效果评价

支架式教学模式被广泛应用于实际教学中，这是新课标教学要求的体现。但部分教师在实施支架式教学的过程中只是按流程进行，未将此教学模式真正落实，教学质量达不到预期的效果。由于学生的已有认知存在差异性，该模式的优势与局限性便有所显现。教师应分清支架式教学在教学实施过程中的优势与局限性，才能更好地依据学情展开教学，在教学过程中有的放矢。

3.1支架式教学的优势

支架式教学模式是基于问题情境展开教学，通过搭建支架，学生可以在问题解决的过程中逐步进行知识建构，促进知识创新。遵循“最近发展区”原则，在尊重学生已有生活与知识经验的基础上搭建支架，联系新旧知识、分解复杂难题，具体表现如下：

3.1.1联系新旧知识，促进学习迁移

支架式教学模式注重学生知识的生成与建构，尊重学生的主体地位，侧重联系新旧知识。首先，由教师引导学生产生与已有认知的冲突，让学生自己找到与已有认知中相似的知识经验，并有选择性地进行吸收理解，也就是图示的扩充。其次，基于已有知识经验进行结构重组，也就是图示的改变，从而来使学生达到一个新的认知平衡，完成意义的建构，旧知识经验就是新经验的生长点 。最后，通过支架式教学模式，层层递进、多样化地启发式提问，多角度地强调知识的建构与应用，从而使学生的逻辑外延更多地变为心理外延，激发学生的潜在意识，提升知识的实用性，促进学习迁移。

3.1.2分解复杂难题，建构解题框架

支架式教学模式中教师根据学生的“最近发展区”有意识地逐层递进、搭建支架。在解题教学中，通过“题中之题”的设置分解复杂难题，再逐步引导学生自我思考，逐渐构建解题框架。使学生通过这一道题解题思路的讲解，学到一种通性通法。在教师支架式教学模式的帮助下建立属于自己的解题框架，在之后拆除支架仍可进行应用分析。从而分解复杂难题，建构解题框架。

3.2支架式教学的局限

建构主义强调知识的相对论，知识不是来源于外部的，没有绝对准确的答案。由于学生具有不同的生活体验，知识背景，拥有自己的思维方式。因此，支架式教学模式存在局限性，对教师提出了更高的要求，具体表现在以下两方面：

3.2.1在大班制教学中难以平衡全体学生

与传统的教学模式相比，支架式教学模式存在更多的课堂生成与不确定性，会出现不同的“生本课程”，需要教师正确处理好“预设”与“生成”的关系。坐在教室里的学生并不是一张白纸，而是具有知识经验背景的有思想的人。因此，教师在使用支架式教学模式的过程中，要考虑到学生的个体差异性，尤其在课堂教学提问环节，要根据学生的不同回答及时调整支架搭建的模式。但是，在学生数量多的大班制教学中，要想照顾到所有学生的想法，需要教师有很高的教学机智，这是一件很难平衡的事情。

3.2.2在实施过程中难以确定搭建支架的标准

支架式教学模式的提出，需要对学习过程作出新的阐述，它不仅没有消减教师的作用，反而给教师提出了更高的要求。^[6]支架式教学看似是教师放手让学生去独立探索，减轻了教师的负担，但事实上是对教师提出了更高的要求。如何确定搭建支架的标准？这类问题并没有一个明确的标准答案。由于学生的个体差异性，每个人对支架搭建的要求不同，每个人的知识经验背景不同，对知识的理解也不相同。怎样逐步搭建支架？何时需要拆除支架？都是需要考虑的问题。教师要对学生有充分了解的前提下，结合自身经验，在实践过程中不断摸索。

3.3应用支架式教学的建议

由于学生的个体差异性，支架式教学模式的实施难以平衡全体学生，搭建支架的标准也没有明确的答案。本文针对存在的这些局限性，提出了两点相应的教学建议：

3.3.1搭建知识支架的同时，也要兼顾心理支架的搭建

支架式教学难以平衡全体学生，在于支架搭建的过程中，缺乏对学生学习心向的关注。支架式教学模式强调教学过程中的知识相对论、意义建构、知识处理与转化。这些过程都需要学生有主动学习的心向，如果忽视了心理支架的搭建，只注重知识支架，结果仅仅只是停留在支架式教学的表面，得不到具体的落实。因此，不仅需要教师根据学生的认知发展水平搭建好知识支架，同时还要为学生搭建好心理支架。学生对意义的主动建构不能由他人代替，学习活动是学生内部心理表征的选择、加工与建构。当学生没有积极地跟上教师的思维或者与预设的支架搭建出现偏差时，教师要及时对支架进行调整，对于学生提出的想法，教师应及时地给予评价，注重课堂生成。在搭建知识支架的同时，随时关注学生在知识学习与解题过程中的学习心向，才能更高效地平衡全体学生。

3.3.2利用“最近发展区”的动态性，适度调整支架

在实际教学过程中难以确定搭建支架的标准，可以利用“最近发展区”的动态性进行调整。“最近发展区”不是静止不变的，而是随着学生个体认知水平由低到高的发展变化而不停地发展变化。^[7]在解题教学的过程中，基于学生已有的知识与生活经验，在教师搭建支架的阶段，学生会进行认知重组，发生意义建构，达到新的更层次的平衡。原有认知被激活后，并不是固定不变的，学习是对原有认知的深化、突破、改造、重组与超越。因此，“最近发展区”也会不断发生变化。教师要认识到学生“最近发展区”的动态性，密切关注学生在解题教学过程中的表现，选择适当的时机对支架进行合理地调整。经常进行诊断性、反思性地学习，面对动态的、持续不断的变化，教师应及时拿出调整方案。

小结

支架式教学在高中解题教学中的应用非常广泛，相比传统的教学模式具有一定的优势，有利于联系新旧知识，促进学习迁移；对复杂综合题可以进行逐步分解，构建解题框架，使学生达到活学活用的效果。但由于学生的个体差异性，会导致在平衡全体学生、确定支架标准等方面存在局限性。因此，教师不能盲目地套用支架式教学模式，应深入理解支架式教学的本质与搭建过程。在关注知识支架搭建的同时也要兼顾心理支架的搭建，利用“最近发展区”的动态性适度调整支架，真正落实好新课标的要求。

参考文献：

[1] 《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》[M].高等教育出版社，2018.5.

[2] 章建跃.建构主义及其对数学教育的启示[J].数学通报，1998（04）:4-9.

[3] 王培.支架式教学在函数教学中的研究[J].教育教学论坛，2017（08）：66-67.

[4] 燕良轼．《教育心理学》[M]．武汉大学出版社，2010.5．

[5] （美）乔治.波利亚.《数学的发现》[M].科学出版社，2006.

[6] 喻平.《数学教育心理学》[M].广西教育出版社，2015.5.

[7] 满海波. 支架式教学在函数教学中的应用研究[D].河北师范大学,2013.

Research on the application of scaffolding teaching in problem-solving teaching of logarithmic function

Ling Chu

(School of Mathematics and Computational Science,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan,Hunan,411201,China)

Abstract:With an advanced requirement put forward by the new curriculum standard, traditional problem-solving teaching methods have been difficult to adapt to the current situation under the high school mathematics teaching. Based on the problem-solving teaching of logarithm function, this paper constructs the application of scaffolding teaching in problem-solving teaching under constructivism learning theory, which points out that the learning orientation of students should be paid attention to in the implementation of teaching and build the scaffolding using the dynamic characteristics of the "zone of proximal development".

Key words:Scaffolding teaching; Logarithmic function; Problem-solving teaching; Zone of proximal development