弹塑性力学课程案例研讨教学探索与实践

张鹏，王传杰，朱强，陈刚，崔令江  

（哈尔滨工业大学(威海)材料科学与工程学院，山东 威海，264209）

摘要：在一流课程建设背景下，围绕弹塑性力学基本理论要点，以知识脉络为主线构建问题导向的理论与应用案例，通过案例研讨教学，引导学生建立准确的物理概念，掌握弹塑性变形力学分析方法。教学实践表明，案例研讨教学能够使学生达到理论与实践相结合的学习效果，加深学生对理论要点的理解，提高学生分析问题、解决问题和工艺实践能力，可以为弹塑性力学课程教学改革提供新思路。

关键词：弹塑性力学；案例教学；课程改革

中图分类号：G642   文献标识码：A

Exploration and practice of case study teaching of elastic-plastic mechanics course

Peng Zhang, Chuanjie Wang, Qiang Zhu, Gang Chen, Lingjiang Cui

(School of Materials Science and Engineering, Harbin Institute of Technolgy at Weihai, Weihai Shandong, 264209)

Abstract: Under the background of first-class course construction, focusing on the basic theoretical points of elastic-plastic mechanics, a problem-oriented theory and application case is constructed with the thread of knowledge as the main line. Through case study teaching, students are guided to establish accurate physical concepts and master the mechanical analysis methods of elastic-plastic deformation. Teaching practice shows that case study teaching can enable students to achieve the learning effect of combining theory and practice, deepen the students' understanding of the theoretical points, improve the ability of analyzing problems, solving problems, process practice, and can provide new ideas for teaching reform of elastic-plastic mechanics course.

Keywords: Elastic-plastic mechanics; Case teaching; Course reform.

课程教学是人才培养、教学质量和水平的最基本要素。课程建设是教学基本建设的核心内容，是推进教育创新、深化教育创新、深化教学改革、提高教学质量得重要途径。教育部发布《教育部关于一流本科课程建设的实施意见》，课程目标坚持知识、能力、素质邮寄融合，精选内容，注重实践，培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维以及深度分析、大胆质疑、勇于创新的精神和能力^[1]。因此，通过案例研讨教学模式，提高学生理论与应用相结合的学习能力，是一流课程建设的必要方式之一。

弹塑性力学是高等学校工科专业重要的基础课程，基础理论性强、应用领域广泛，不仅为后续专业技术课程提供理论基础，还为专业工程实际问题的解决提供技术支撑。因此，开展弹塑性力学课程的案例研讨教学改革，对于应用型人才培养具有重要作用。案例研讨教学作为弹塑性力学课程的重要教学方式，需要凝练课程内容知识脉络，通过引入问题导向的理论与应用案例研讨，加深学生对理论要点的理解，提高学生分析问题、解决问题、工艺实践能力。本文介绍哈尔滨工业大学（威海）材料科学与工程学院弹塑性力学课程案例研讨教学的改革探索。

1 弹塑性力学课程案例研讨教学设计

弹塑性力学是固体力学的分支学科，是研究可变形体受到外载荷、边界强制位移、温度变化及边界约束变动等外力作用时在变形体内所产生的相应的应力场和应变场。课程教学目的是培养学生掌握弹塑性力学理论知识和分析方法，并提高运用于实践的独立研究能力和创新能力，通过课程学习，掌握结构承载能力、塑性加工时外载荷（力、力矩）计算、结构总体变形计算、塑性加工件的尺寸与形状变化预测等知识，因此，弹塑性力学是一门既有相当理论深度又对实际生产有重要指导意义的课程。根据弹塑性力学课程内容知识脉络，首先要明确理论力学、结构力学、材料力学、弹性力学和塑性力学的研究对象和解决的问题范围，^[2-4]见表1。

表1 有关力学课程的研究对象与解决问题的范围

弹塑性力学课程是在理论力学、结构力学、材料力学等课程的基础上，进一步系统学习弹塑性力学的基本概念和研究方法，课程内容知识脉络包括应力、应变、屈服准则、弹塑性应力应变关系、主应力法、滑移线法等，围绕弹塑性力学基本理论要点，以知识脉络为主线构建问题导向的理论与应用案例，通过案例研讨教学，引导学生建立准确的物理概念，掌握弹塑性变形力学分析方法，使学生达到理论与实践相结合的学习效果，掌握弹塑性力学知识并能够有效运用解决实际问题。

2 弹塑性力学课程案例研讨教学实践

根据多年来弹塑性力学课程的教学探索，案例研讨教学有利于引导学生形成问题导向学习理念，能够在学习过程中达到理论与实践相结合的学习效果。下面以屈服准则与强度理论关系举例介绍。

屈服准则又称塑性条件，它是描述不同应力状态下变形体某点进入塑性状态和使塑性变形继续进行的一个判据。在单向应力状态下，材料由弹性状态进入塑性状态的判据可以由单向拉伸或单向压缩实验确定，即作用在变形体上的应力等于材料的屈服极限时，材料就进入到塑性状态，即

                                （1）

但对于任意应力状态下的屈服准则，就不可能用一般的实验方法来确定材料是否进入塑性状态。因此，目前对于任意的应力状态，描述物体有弹性变形状态进入塑性变形的判据仅是一种假设。一般情况下，可以将屈服准则表示为应力状态、应变状态、时间t、温度T等的函数，称为屈服函数，即

                                            （2）

式中，为与材料力学性能有关的常数。

在常温情况下，不考虑时间因素的影响，则影响材料屈服的只有应力状态和应变状态。当材料在屈服的瞬间，应力应变关系仍符合虎克定律，应变可由应力唯一确定。因此，屈服准则可表示为应力的函数，即

                        （3）

静水压力实验表明，材料在很高的静水压力作用下的体积变化是很小的，而且体积的变化是弹性的。因此，可以认为静水压力对材料的屈服没有影响。

下面以低碳钢简单拉伸为例来说明屈服准则与强度理论的关系。图1所示为低碳钢单向拉伸的应力-应变曲线。随着轴向应力的增加，当其值达到时，材料进入塑性状态。为了使塑性变形继续进行，考虑加工硬化效应应力值仍需继续增加。如果把屈服应力不局限于A点的初始屈服应力，而将其理解为与某一应变对应的曲线AC上N点的应力，只要在试件中的应力不低于，此时塑性变形仍继续进行。因此，一般线段AC上所对应的应力以流动应力来表示，它是一个广义的“屈服”应力。于是，单向拉伸的屈服准则可以写为

                        （4）

式中  ——材料的流动应力，它随温度、应变速率及应变而变化，即

                  （5）

此数值可从相应的手册中查找，或由一系列实验获得。

图1 低碳钢的拉伸应力-应变曲线

由于变形体中应力状态比较复杂，对于三向应力状态，就不能简单地用某一个主应力，例如或来表征应力的综合效果，材料力学的强度理论给出复杂应力状态下构件是否安全的判据，其表征应力的方法可以借鉴。在材料力学中，韧性材料的强度理论可以表达为第三及第四强度理论，其表达式分别为

                （6）

   （7）

式中  ——材料的屈服应力；——安全系数，其值大于1。

第三强度理论及第四强度理论不局限于某一特定应力状态（如单向拉伸或双向压缩），适用于任何应力状态。在式（6）的左端为两倍大小的最大剪应力，其物理概念是：如果构件中的任何一处的最大剪应力都小于某一许用数值，则该构件不会产生塑性变形。对于三向应力状态，只要找到最大正应力及最小正应力，将其代入式（6），则可判别此构件是否安全。由此可见，对于第三强度理论是以或作为表征应力的，这从物理概念上也是合理的。而塑性变形的主要机制是滑移与孪晶，是由剪应力引起的。

若将安全系数取为1，则式（6）变为

                  （8）

可以将式（8）理解为一个屈服准则，至少在简单拉伸时可以得到验证，即当时材料进入屈服状态。因此，可以从物体内应力由弹性状态进入屈服和继续塑性变形的全过程来进一步加深对强度理论的理解，以及它与屈服准则的内在联系。

在材料力学中，主要研究弹性问题，而把发生塑性变形定义为构件失效。由于金属材料的延展性较好，例如不锈钢0Cr18Ni9的延伸率可达45％左右，低碳钢的延伸率一般也大于25％，开始塑性变形，对塑性加工来说仅仅是一个起点。图2是拉伸时的应力应变分区，在屈服点以前为弹性区，屈服点以后为塑性区。图3中Ⅰ区相当于材料力学所限制的应力范围，即安全范围；Ⅱ区是设置的“安全缓冲区”；Ⅲ区是塑性加工中的表征应力范围。

图2 拉伸时材料的分区           图3 材料力学与塑性力学中的应力分区

第三强度理论实质上是1864年屈雷斯加对很多材料进行了大量的挤压试验后得出的一个假说，即塑性变形起源于物体内的最大剪应力达到某一数值。追其根源，强度理论也是起源于产生塑性变形的判据，它仅仅从结构安全的角度，降低了综合应力的许用值，于是在图3中形成了一个“安全缓冲区”。

前面讲到的“表征应力”是指将一个复杂应力状态的综合效果以表征应力来描述。对于第三强度理论，其表征应力为最大剪应力或，并不是从数学角度严格推导出来的，而是基于特定的实验结果提出的。严格来讲，最大剪应力仅取决于最大正应力及最小正应力，忽略了中间主应力的影响。因此，屈服准则还有其他描述，例如1913年米塞斯提出一个决定塑性变形是否发生的判据，它涵盖了最大、最小及中间主应力，其表现形式为

          （9）

上式整理可得

     （10）

对比式（10）与式（7）可见，当式（7）中=1时，两者完全相同，即第四强度理论来源于式（10），仅仅是从安全角度做了系数加权。对比式（6）和（7），我们可以指出其差别是表征应力不同，而对于不同强度理论，或更实质的说，对于不同的屈服准则其表征应力不同。

3 结语

经过十年的教学实践，弹塑性力学课程案例研讨教学有利于引导学生形成问题导向学习理念，能够在学习过程中达到理论与实践相结合的学习效果。围绕弹塑性力学基本理论要点，以知识脉络为主线构建问题导向的理论与应用案例，通过案例研讨教学，引导学生建立准确的物理概念，掌握弹塑性变形力学分析方法，理解基础理论，学会案例分析，掌握工程应用，达到弹塑性力学课程理论知识的学以致用。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.《关于一流本科课程建设的实施意见》. 教高[2019]8号.

[2] 徐秉业. 弹塑性力学及其应用[M]. 北京: 机械工业出版社, 1984.

[3] 王仲仁. 塑性加工力学基础[M]. 北京: 国防工业出版社, 1989.

[4] 张鹏. 弹塑性力学基础理论与解析应用[M].第2版. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2018.

基金项目：山东省一流课程“弹塑性力学基础A”；山东省一流专业建设点“材料成型及控制工程”。

第一作者，张鹏，1978年生，男，山东烟台人，哈尔滨工业大学（威海）材料科学与工程学院，教授，研究方向：材料精密成形技术。

通讯作者，王传杰，1988年生，男，安徽阜阳人，哈尔滨工业大学（威海）材料科学与工程学院，副教授，研究方向：材料精密成形技术。