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建构智能课堂-以“几何画板”聚焦“二次函数”图象问题

发布时间:2021/11/26 阅读数:

建构智能课堂-以“几何画板”聚焦“二次函数”图象问题

张洁*,苏冬雪 

唐山市曹妃甸区曹妃甸新城实验学校(北京景山学校曹妃甸分校),河北唐山063000

 

[  信息网络技术的效用发挥为学科教学提供了更坚固的专业支撑,建构了更为立体化、实践化、科学化的课堂环境,倡导受教群体多维度、全视角地参与到知识分析的过程中来,使得学科核心知识与现代教育媒介有机融合。函数作为初中阶段数学教学的重难点,旨在研究自变量和因变量之间的关系,常用图象法、解析式法等方法来解读函数模型,考察学生识图、读图、数据转换的能力。基于此,现以二次函数内容教学为依托,分析了“几何画板”软件在“线段和差”问题、“含参的函数最值”等方面的实例应用,并附上了图象绘制过程及解题思路,以此来深入解读教育软件的实际应用意义。

[关键词]教育智能 二次函数 几何画板 实例分析

[作者简介]张洁(1994),女,汉族,河北省定州人,南开大学硕士学位,单位:唐山市曹妃甸区曹妃甸新城实验学校(北京景山学校曹妃甸分校),初中部,职务及方向:初中数学教师。苏冬雪(1993),女,汉族,黑龙江省海伦人,内蒙古工业大学硕士学位,单位:唐山市曹妃甸区曹妃甸新城实验学校(北京景山学校曹妃甸分校),初中部,职务及方向:初中数学教师。

 

 

前言:教育软件着力融入多类视听途径,将原有知识素材或学科抽象概念转化为更具体、更可视的一般认识规律,允许受教群体通过实验探索及数据验证来进一步了解知识形成的基本过程。几何画板、FlashGeogebraMatlab等多媒体软件的推广,丰富了学科教学的课堂容量及知识范畴,深化了教师群体及受教群体对核心概念及应用模型的掌握与理解[1]。在新时期教育教学背景下,相关教育部门不断推进现代化媒体在中小学领域的实践应用,关注“丰富的感觉”在受教群体的知识认知及知识延展等方面的关键意义,并着力借助多媒体软件来进行动态课件制作、课堂实录、学生学习情况实时反馈以及综合素养评价等,以期切实推进传统教学与现代信息技术的多维度融合[2]

 

一、几何画板的“数学透视”功能剖析

1.1 教育软件的应用价值

数学学科的概念形成及实际问题解决的过程凸显出抽象化、严谨化、逻辑度高的综合特征,涉及到较多的基本公理和推论,过多的文字语言描述或几何语言描述容易产生理解偏差或思维定势,降低了数学学科的“生命力”,亟待秉承“发现”和“创新”的教学原则,来更趣味性地掌握题目中的几何关系[3]。在解决图象信息类问题时,绘制“草图、附图”是常用的辅助解题手段,可将题目中的数据元素之间的逻辑关系具体化为几何模型,来进一步推进学生群体对题目考察方向的理解。“几何画板”软件聚焦于图象信息的具体化及读图过程的可视化,关注图形动态转化及基础知识概念之间的转换关系,着重关注构成几何图形的基本要素,并通过动态拖拽来展示所需的几何关系,为受教群体呈现出几何转换的全过程[4]

1.2 “几何画板”软件的应用角度

几何图形表示是数字、公理学习的“催化剂”。相比于格式统一的语言描述,几何画板为数学教学创造了更多可控条件,可通过动画模拟和题目变式来创设更具启发式的教学方案。比如,在探究“三角形相似”这一章内容时,可借助几何画板软件进行坐标放大或缩小,来体现出“相似三角形形状相同、大小不同”的这一公理,或通过设置相应的参数值,来改变其中一个相似三角形的边长和角度,从而观察与其对应相似的另一个三角形的变化规律,有效减少了板演推理过程中的度量及运算过程;又如,针对“几何图形圆的概念辨析”这一部分内容时,“车轮的形状选择”是常见的验证题型,此时可借助几何画板来分别模拟圆形和四边形车轮的滚动过程,观察这两种情况下转动轴心的运动轨迹,从而更深层次地理解“圆”的本质属性。

回归到“函数”学习的层面上来看,函数学习主要涉及到概念辨析、图象性质讨论、求解析式及实际问题建模等类型,以往的教学模式主要为手工绘图及数据计算,暴露出精准度低、效率慢、知识体系过于生涩等弊端,亟待借助几何画板等多媒体技术来实现函数内容的动态直观表示[5]

二、函数本质与教学现状

纵观初中各年级段学生的思维认知特点可知,八九年级的学生群体对自变量、因变量、数据变化趋势及几何符号语言的转换大多缺少清晰的认知,也难以灵活运用建模思想、运动变化的思想来解决现实问题,亟待选取更为直观高效的教学手法来强化受教群体的学科思维。从教师教学模式及学生思维认知的层面上看,当前在二次函数这一版块的教学过程中,主要存在以下方面不足:

2.1教师教学层面

从教育理念及教育模式层面上看,主要凸显出两方面的欠缺点。其一,部分教学模式凸显出枯燥呆板、重概念轻应用、图象信息解读缺乏直观性等弊端,难以满足复杂抽象的函数内容的教学进度及预期,未能选取更动态化、直观化、专题化的授课模式来突破学生对核心知识的理解障碍,从而在一定程度上降低了教学成效;其二,未能着眼于不同个体的学情概况来找到问题原因及障碍突破口。

2.2 学生认知层面

2.2.1 图象理解偏差,获取核心信息能力差。

部分受教群体难以均衡把握函数解析式的系数值与图形之间的对应关系,缺乏必要的审题能力与信息捕获能力,比如,未能深入掌握二次函数解析式中的各项系数符号abc与图象位置特征之间的关系,难以通过图象中的最值或区间图象的两个端点来初步判断函数最值或顶点式,从而阻碍了受教群体对题目中隐含信息的基本预判。

2.2.2 数据解读偏差,数学语言未有效转化。

难以观察图表题中的数据特征、难以将实际问题中的文字或数据信息转化成数学语言,即部分同学难以根据图表中的数据来选取恰当的解题方法。在学习二次函数三种解析式的过程中,“顶点式”是较为典型直观的应用类型,其中的重要推论为“图象中纵坐标相等的点关于对称轴对称”,所以在解答相关题目的过程中,可聚焦数据表格中纵坐标相等的点,并将函数设为顶点式y=a(x-h)2+k,以此来简化配方与求值步骤;

2.2.3 思维未成系统,新旧函数未深入衔接。

函数均为自变量与因变量的对应关系,具有部分相通的分析思路,故可类比已学的一次函数、反比例函数的观点来解决二次函数问题,如建立直角坐标系、建立函数实际问题模型、分析图象对称性与增减性,而实际调查显示,一定比例的受教群体缺乏较好的知识迁移能力,缺乏更为直观的图象分析题目练习,对函数类的题目大多停留在定义、解析式层面的直观理解上,没有用转化变通的思维来挖掘变量之间的动态化数值对应关系,未能在思维认知中形成函数图象的初步轮廓和位置关系,未能通过表层的“视觉认知”来辨别函数变量的本质关联,以致于难以找到相对应的便捷解题方法[6]

2.2.4 知识迁移不足,实际问题解决乏力。

缺乏对实际问题的感知与精准描述。在探究实际问题中自变量的取值范围及二次函数数据建模、最值问题时,部分学生难以将实际问题中的数量关系进行准确描述与建系,如让利于顾客前提下的最大利润问题、倍速增长问题、几何动点问题等,欠缺同种问题的知识迁移、要素总结及思维转化能力。

 

3. 二次函数中“几何画板”软件的实例绘图

初中教学阶段已较早地引入了“对应关系”及“函数”等相关概念,并注重与生产实践的密切联系,聚焦二次函数的定理、推论与实际案例之间的衔接关系,涉及到建模与问题转化过程。深入审视中考考察重难点可知,二次函数这一章的内容在命题形式、考察角度及推论延展性等方面具有较大的灵活性,占据较大分值比例,如函数表达式与系数值之间的关系、图象的翻折变换、几何面积求最值、图形相似、与一次函数图象交点间线段和差最值、对称轴和自变量取值区间的位置关系判断等方面。在以往的教学过程中,常利用直接代点坐标求解法或尺规作图法来探究符合题意的点坐标或位置关系,为更清晰地展示动点变化过程及数据之间的等量关系,现以“几何画板”软件为依托,分析了有关函数图象重难点题目的图象绘制过程。

3.1 “线段和差”最值

二次函数图象中涉及到的线段和差最值问题主要分为竖直线段及斜线段两种,主要是根据线段两个端点的横纵坐标的差值来进行计算。在探究综合性质的过程中,“几何画板”软件能够设置不同的参数值来制作一般形式下的图象,追踪点的运动路径,以此来挖掘此类题目的普遍解题思路。

例1. 已知二次函数y=-x2-3x+4的图象与x轴交于EB两点,xExB,与纵轴交于点C,过点EC作直线l1,点P是抛物线上的动点(不与EC重合),探究点P到直线l1距离的最大值。(注:本题选自《二次函数满分之路,现代教育出版社》)

解题思路:多媒体软件的应用简化了重复绘图与探究过程,本题可用“几何画板”软件来研究垂线段距离的最大值,并设定过交点A的直线系,来判断在其余条件下的线段最值情况。下图中绘制和标注了函数解析式中相关参数的变化过程,初始的二次函数图象用f(x)表示,过定点A的直线系用g(x)来表示,可通过改变左侧参数k的值来改变直线的斜率及与抛物线的交点位置,由此来更清晰明了地观察其余情况下,动点P到直线距离的远近。本题解题要素如下:

由图可知,点EBC三点的坐标分别为E-40)、B10)、C04),则可知CO=EO,故直线l1的斜率为k1=1,相应解析式为y=x+4,且△PHA为等腰直角三角形,可得边长之间的等量关系为PA=PH

又因为P点在二次函数图像上,所以可设点P坐标为(m,-m2-3m+4),由PAD三点在同一条垂直于横轴的直线上,得PA=yP-yE=-m2-4mPH=PA=-m+22+2。从而等价于二次函数顶点式求最值,可得线段PH的最大值为2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1利用几何画板解决二次函数中的“线段最值类”问题。图ABC分别为建系作图找点、设置过定点的动态直线参数、动态直线性质研究的过程。

 

3.2 利用几何读图求“代数最值”问题

函数图象信息题主要聚焦语言和符号两个层面的协同处理,需要将各条件转化成变量之间的空间几何关系,经由图象识别、绘制、翻折等过程来不断丰富受教群体的空间认知[7]

在二次函数的知识学习中,“区间最值”问题为学生需掌握的重难点,因常规教学凸显出缺乏动态图解、实例素材单调化、专项题目质量受限等方面弊端,导致部分学生难以对自变量取值范围或对称轴中的参数进行合理的分类讨论。以“几何画板”软件为代表的多媒体数学辅助软件为直接代值法及图象法提供了易调整、易观察的动态图象,有助于其深层次掌握“参数变化”问题的基本规律和最值特点[8]。在几何画板软件中,以对称轴h为参数,绘制基础函数,接着聚焦顶点坐标,进行左右平移,观察顶点横坐标与对称轴的数值关系,对比各个参数情况下,二次函数图象的形状、位置关系及增减性,设置“动画”按钮,并要求学生进行数据汇总与小结,以此来逐步实现从特殊情况到一般规律的探索认知与归纳。与此相同,在探究“函数、方程和不等式”之间的关系时,几何画板软件很好地将动点、直线平移转化为更为直观可见的图象,进一步揭示了含参函数的几何意义与转化依据。在“代数最值”类型题的研究中,比较常见的为“定轴,区间范围含参”的相关问题,现讨论图谱的绘制过程。

2、当自变量x的范围为mxm+2时,求二次函数y=x2+4x+2的最小值。(注:本题选自《二次函数满分之路,现代教育出版社》)

解题思路:先将二次函数由一般式化成顶点式为y=(x+2)2-2,开口向上,顶点坐标为(-2,-2),对称轴为直线x=-2;其次分类讨论及在“几何画板”软件中绘制函数的整体图象、切割出自变量的取值范围。根据图象可知,当mxm+2整段取值范围均在对称轴右侧,即m-2时,因变量和自变量存在对应递增关系,故当x=m时,二次函数取得最小值ymin=m2+4m+2;当mxm+2整段取值范围均在对称轴左侧,即m+2-2m-4时,函数在此单调区域内为递减,故当x=m+2时,函数最小值ymin=(m+2)2+4(m+2)+2=m2+8m+14;当此段自变量取值范围跨对称轴(含端点与对称轴相交),即m-2m+2-4m-2时,因抛物线开口向上,故在顶点处(对称轴与抛物线交点处)取得最小值ymin=-2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2定轴、区间含参时,二次函数最值情况的“几何画板”图解。A为整段自变量范围均在对称轴左侧,B为整段自变量取值范围均在对称轴右侧,C为对称轴介于自变量取值范围内。

 

综合来看,几何画板等多媒体软件的使用在一定程度上拓展了课堂容量及学生知识范畴,有效促进了学生对数学学科概念本质的理解水平。教学人员应充分关注双向的框架联结关系,从信息化视角来对学科教学和多媒体软件进行专业整合,将抽象的数学语言转化成通俗易懂、直接简明的解题元素,为学生群体提供信息转换及思维构想的支撑环境,着力提升受教者的读图能力、隐含信息挖掘能力以及数形等价转换能力。在后期的教学过程中,相关教学人员应积极主动挖掘学科属性并恰当引入信息技术媒介,建构多元立体、实效度高、易理解的教学环境,以期全面推进学科重难点的突破过程。

 

参考文献:

[1] 李昌志,余林燕,许雪莹,韦金凤,刘芳瑛,刘伟.数学软件在中学教学中的应用——函数和几何的建模[J].教育现代化,2018,5(40):215-217.

[2] 陈卫东. 教育技术学视野下的未来课堂研究[D].华东师范大学,2012.

[3] 黄先明. 几何画板(GSP)辅助初中几何课堂教学的应用研究[D].西北师范大学,2006.

[4] 张文梅. 几何画板对初中学生几何动态问题解决的有效性探索[D].华东师范大学,2010.

[5] 武艳. 数学概念获得的研究及其对数学概念教学的启示[D].辽宁师范大学,2009.

[6] 秦春华. 新课程背景下初中二次函数教学策略研究[D].四川师范大学,2016.

[7] 于灵. 运用“数形结合思想”指导初中函数教学研究及课例分析[D].天津师范大学,2013.

[8] 潘征宇,钟绍春,钟永江,张语函.《二次函数闭区间最值》个性化学习工具设计[J].电化教育研究,2015,36(06):61-65.

 

Building an Intelligent ClassroomFocusing on "Quadratic Function" Image Problems with "Sketchpad"

 Zhang Jie*, Su Dongxue

 

Caofeidian New Town Experimental School, Caofeidian District, Tangshan City, Tangshan City, Tangshan City, Hebei Province

Abstract: The Information Network Technology provides stronger professional support for subject teaching, constructs a three-dimensional, practical, and scientific classroom environment, and advocates that the taught group participates in the process of knowledge analysis in a multi-dimensional and full perspective. The core knowledge of the subject integrated with the modern educational media is ecouraged. Functions, as the most important and difficult point of junior high school mathematics, are designed to study the mapping relationship between independent and dependent variables. Common methods such as image method and analytical method are used to interpret the function model. Based the teaching of quadratic function content, this paper analyzes the example applications of the "Sketchpad" in the "line segment and difference" problem, "value of the function with parameters". The article attaches the image drawing process and problem-solving ideas to deepen the practical application significance of educational software.

Keywords:Educational Intelligence; Quadratic function; Sketchpad software; Example analysis